[미분방정식및연습] 02. 미분방정식 해를 구하는 과정, 미분방정식 분류, 연립미분방정식, 미분 방정식의 차수

1. 미분방정식 해를 구하는 과정

 저번 시간에 이어, 질량 m=10kg이고 항력 계수 r=2kg/s인 낙하 물체를 고려해보자. 

 그러면 운동 방정식은 다음과 같다. 

(1)

이 물체가 300m 높이에서 낙하한다고 가정하자. 

-임의의 시간 t에서 속도를 구하라.

-이 물체가 지면에 도달하는 데 걸리는 시간과 충돌 순간의 속도를 구하라.

 

첫 번째 단계는 방정식 (1)에 대한 적절한 초기 조건을 설정하는 것이다. 

문제에서 "낙하"라는 단어가 사용된 것은 초기 속도가 0임을 의미하므로, 다음과 같은 초기 조건을 사용함을 알 수 있다. 

(2)

 

먼저, 방정식을 다음과 같이 변형한다. 

(3)

양변을 적분하면 다음과 같다.

(4)

따라서 방정식 (1)의 일반 해는 다음과 같다. 

(5)

상수 c를 결정하기 위해, 초기 조건에서 t=0 및 v=0을 방정식 (5)에 대입하면, c=-49임을 얻는다. 

따라서 초기값 문제 (1), (2)의 해는 다음과 같다. 

(6)

방정식 (6)은 양의 시간 t에서 낙하하는 물체의 속도를 나타낸다. 

 

 

여러 값의 c에 대한 방정식 (5)의 그래프는 그림 1에 나타나 있으며, 방정식 (6)의 해는 파란색 곡선으로 표시되어 있다. 

모든 해가 평형 해 v=49에 접근한다는 것이 명백하다는 것을 보여준다. 

 

예제: 지면에 도달하는 시간

물체가 지면에 도달할 때의 속도를 찾으려면, 충돌이 발생하는 시간을 알아야 한다. 

즉, 물체가 300m를 낙하하는 데 걸리는 시간을 결정해야 한다. 

이를 통해, 물체가 낙하한 거리 x는 속도 v와 다음 방정식으로 관계가 있음을 확인할 수 있다.

또는

(7)

따라서, 방정식 (7)의 양변을 적분하면 다음을 얻는다. 

(8)

물체는 (8)에서 c=-245임을 알 수 있으므로, 시간 t에서 물체가 낙하한 거리는 다음과 같다. 

(9)

물체가 지면에 도달하는 시간을 T라고 하면, t=T일 때 x=300이 된다. 

방정식 (9)에 이 값을 대입하면 다음과 같은 방정식을 얻는다. 

(10)

방정식 (30)을 만족하는 T의 값은 공학용 계산기 또는 컴퓨터를 이용한 수치적 방법을 통해 근사적으로 구할 수 있으며, 그 결과 $T\approx 10.51$초가 된다. 

이 시간에서, 방정식 (6)으로부터 해당 속도 $v_{T}$를 계산하면 v_{T}\approx43.01m/s가 된다. 

점 (10.51, 43.01)은 그림 1에도 표시되어 있다. 

 

> 모델의 예측이 관찰 결과와 크게 다를 경우, 모델을 수정하거나 더 신중한 데이터를 수집하거나, 두 가지를 모두 수행해야 할 수도 있다. 

> 정확성과 단순성 사이에는 거의 항상 균형이 필요하므로, 한쪽을 개선하면 다른 한 쪽이 손상될 수 있다. 

> 모델이 불완전하거나 다소 부정확하더라도, 문제의 질적인 측면을 설명하는데 도움이 되거나 특정 조건에서 만족스러운 결과를 제공할 수 있다. 

> 궁극적으로, 어떤 수학적 모델을 만들거나 적용할 때는 신중한 판단과 상식이 필수적이다. 

 

2. 미분방정식의 분류

 주요 분류 기준 중 하나는 미지 함수가 하나의 독립 변수에만 의존하는지, 아니면 여러 개의 독립 변수에 의존하는지에 따라 달라진다. 전자의 경우에는 미분방정식 부분에 상미분(ordinary derivative)만 나타나며, 이를 상미분방정식(ODE, Ordinary Differentail Equation)이라고 한다. 후자의 경우, 도함수가 편미분(Partial Derivative)로 나타내며, 이를 편미분 방정식(PDE, Partail Differential Equation)이라고 한다. 

 

앞써 살펴보았던 예제들은 모두 상미분방정식을 다루는 것들이었다. 

상미분방정식의 또 다른 예는 다음과 같다. 

(11)

여기서 Q(t)는 회로 내 축전의 전하량을 나타내며, C는 정전용량(capacitance), R은 저항(resistance), L은 인덕턴스(inductance)를 의미한다. 

 

편미분방정식(PDE, Partial Differential Equation)의 예로 열전도 방정식(heat conduction equation)이 있다. 

(12)

그리고 파동 방정식(wave equation)이 있다. 

(13)

식 (2)와 식 (3)에서 종속 변수 u는 독립 변수 x와 t에 의해 결정된다. 

*열전도 방정식은 고체 내에서 열이 전달되는 과정을 설명하며, 파동 방정식은 고체 또는 유체에서 발생하는 다양한 파동 운동을 설명한다. 

 

3. 연립미분방정식

 미분 방정식의 또 다른 분류 기준은 포함된 미지수의 개수이다. 하나의 미지수만을 구해야 하는 경우, 단일 방정식으로도 충분하다. 그러나 두 개 이상의 미지수가 포함된 경우, 연립 방정식이 필요하게 된다. 

 가령, Lotka-Volterra 또는 포식-피식(predator-prey) 방정식은 생태학적 모델링에서 중요한 역할을 수행한다. 이 방정식의 일반적인 형태는 다음과 같다. 

(14)

x(t)와 y(t)는 각각 피식자와 포식자 종의 개체 수를 나타낸다. 

*상수 a,α,c,γ는 경험적 관찰을 기반으로하며, 연구하는 특정 생물 종에 따라 다를 수 있다. 

 

4. 미분 방정식의 차수

 미분 방정식의 차수(order)는 방정식에서 나타나는 가장 높은 차수의 도함수(derivative)의 차수이다. 

(15)

이 경우 n차의 상미분방정식이라고 할 수 있다. 

방정식 (15)는 독립 변수 t와 함수 u, 그리고 처음 n개의 도함수 $u^{'},u^{''},....,u^{(n)}$ 사이의 관계를 나타낸다. 

 

 미분방정식에서는 u(t) 대신 y를 사용하는 것이 편리하고 일반적이다. 이에 ㄸ라 $u^{'},u^{''},....,u^{(n)}$(t)는 각각 $y^{'},y^{''},....,y^{(n)}$로 나타낼 수 있다. 따라서 방정식 (15)는 다음과 같이 표현할 수 있다. 

$$F(t,y^{'},y^{''},....,y^{(n)})=0$$...(16)

 

 다음과 같은 방정식이 있다고 가정하자. 

이것은 y=u(t)에 대한 3차 미분방정식(third-order differential equation)이다. 

 

우리는 지금부터 주어진 상미분방정식을 항상 최고 차수 도함수에 대해 풀 수 있다고 가정할 것이다. 즉, 다음과 같은 형태로 나타낼 수 있다. 

(18)

이는 형태가 (16)인 단일 방정식이 형태가 (18)인 여러 방정식에 대응할 수 있기 때문에, 헷갈리는 것을 방지하기 위한 것이다. 

 예를 들어, 다음 방정식을 고려해 보자. 

(19)

 

또는

(20)

 미분방정식의 중요한 분류 기준 중 하나는 선형(linear)인지 비선형(nonlinear)인지의 여부이다. 

상미분방정식은 다음과 같이 표현된다. 

만약 F가 변수 $y^{'},y^{''},....,y^{(n)}$에 대해 선형 함수라면, 해당 방정식은 선형미분방정식이라고 한다. 

유사한 정의가 편미분방정식에도 적용되니 잘 기억해두자!

 

따라서, 차수 n인 일반 선형 상미분방정식은 다음과 같이 주어진다. 

(21)

*방정식 (11)은 선형 상미분방정식, 그리고 방정식 (12)와 (13)은 선형 편미분방정식이다.

*방정식 (21)의 형태가 아닌 모든방정식은 비선형 방정식이다.

*방정식 (7)은 yy'항이 포함되어 있기 때문에 비선형이다. 

마찬가지로, 시스템 (14)에 속하는 각 방정식은 xy곱셈 항이 포함되어 있기 때문에 비선형이다. 

 

비선형 미분방정식을 유도하는 간단한 물리적 문제의 예로 진동하는 진자가 있다. 

길이가 L인 진자가 수직 방향과 이루는 각도 θ는 다음 방정식을 만족한다. 

(22)

=> sin θ 항이 포함되어 있기 때문에 방정식 (22)는 비선형이다.

 

 

선형 방정식을 풀기 위한 수학적 이론과 방법은 매우 발전되어 있다.

반면, 비선형 방정식의 경우 이론이 보다 복잡하며, 해결 방법도 만족스럽지 못한 편이다. 

 

예를 들어, 진자의 경우 각도 θ가 작다면, $ sin\theta \approx \theta $로 근사할 수 있으며, 식 (22)는 다음과 같은 선형 방정식으로 근사될 수 있다. 

(23)

 비선형 방정식을 선형 방정식으로 근사하는 이 과정을 선형화(linearization)라고 하며, 비선형 방정식을 다루는 데 있어 매우 유용한 방법이다. 

 

5. 미분방정식의 해와 그 검증방법

 구간 $\alpha <t < \beta $에서의 상미분방정식 (18)의 해는 함수 ϕ이며, 이 함수는 $\phi ', \phi ^{''},...,\phi ^{(n)}$이 존재하고 다음을 만족한다.

(24)

-모든 t에 대해 $\alpha <t < \beta$에서 성립한다.

-별도의 언급이 없는 한, 우리는 방정식 (18)의 함수 f가 실수 값을 갖는 함수라고 가정하며, 실수 값을 갖는 해 y= ϕ(t)를 구하는 것에 관심이 있다.

-미분방정식의 해를 찾는 것은 그리 쉬운 일이 아니다. 그러나 주어진 방정식의 해가 될 수 있다고 생각하는 함수를 찾았다면, 그 함수를 방정식에 대입하는 것만으로도 실제로 해가 맞는지 비교적 쉽게 확인할 수 있다. 

가령, 위와 같은 방법으로 함수 $y_{1}(t)=cos t$가 다음 방정식의 해임을 쉽게 보일 수 있다.

 

(25)

모든 t에 대해 성립한다. 

이를 확인하기 위해, y1'(=-sint이고 y1''(t)=-cost임을 관찰한다. 따라서 y1''(t)+y1(t)=0이 성립한다. 

마찬가지로 $ y_{2}(t)=sint$ 또한 방정식 (25)의 해임을 쉽게 보일 수 있다. 

 

Q. (18) 형태의 방정식은 항상 해를 가지는가?

A. 아니오. 단순히 해당 형태의 방정식을 쓴다고 해서 반드시 그것을 만족시키는 함수 y=ϕ(t)가 존재한다는 것을 의미하지는 않는다.