[미분방정식및연습] 01. 방향장, 수학적 모델 구성하기, 초기값 문제

 

 이번 [미분방정식및연습]에서는 편미분 방정식은 다루지 않고 상미분방정식만을 다룰 것이다. 

 

 자연 세계의 행동을 지배하는 많은 원리 또는 법칙들은 어떤 일이 일어나는 속도와 관련된 진술이나 관계로 이루어져 있다. 이러한 관계를 수학적으로 표현하면 방정식이 되고, 속도는 도함수(derivative)가 된다. 만약 어떠한 방정식이 도함수를 포함한다면 우리는 그것을 미분 방정식(differential equation)이라고 한다. 

 

 미분방정식을 통해 이해할 수 있는 문제들은 다음과 같다. 

motion of fluids

the flow of current in electric circuits

the dissipation of heat in solid objects

the propagation and detection of seismic waves

increase or decrease of populations

 

물리적 과정을 설명하는 미분 방정식을 우리는 종종 그 과정의 수학적 모델(mathematical model)이라고 부른다. 

 

differential equation에는 크게 2가지가 있다. 

change rate 변화율, 변화율 사이의 관계식 

 

예제 1) 해수면 근처 대기에서 물체가 낙하하고 있다고 가정했을 때, 물체의 운동을 설명하는 미분 방정식을 세워보자. 

 

 t를 시간이라고 두고 단위는 second이다. v는 낙하는 물체의 속도라 두고 단어는 meters/second이다. 이때 v는 시간이 지남에 따라 변하므로 v를 t의 함수로 취급할 것이다. 이때, t는 독립 변수, v는 종속 변수가 된다. 

 v는 아래 방향을 양(+)으로 가정한다. 

 *단위 선택은 다소 임의적이며, 문제에서 특정 단위를 제시하지 않았으므로 적절한 단위를 자유롭게 선택할 수 있다. 

 물체의 운동을 지배하는 물리 법칙은 뉴턴의 제2법칙이며, 이는 물체의 질량과 가속도의 곱이 물체에 작용하는 알짜힘(net force)과 같다는 내용을 포함하고 있다. 

$$ F=ma$$...(1)

여기서 m은 물체의 질량(kg)이요, a는 물체의 가속도($m/s^{2}$요, F는 물체에 작용하는 알짜힘(N)이다. 

가속도 a는 $$a=\frac{dv}{dt}$$이므로,

(1)을 다음과 같은 형식으로 쓸 수 있다. 

$$F=m\frac{dv}{dt}$$...(2)

 물체가 낙하할 때, 중력은 아래 방향으로 mg 크기만큼 힘을 제공한다.

 공기저항(항력, drag)은 물체의 운동을 방해하지만 이를 정확히 모델링하는 것은 까다롭다. 

 그래서 일반적으로 항력이 속도에 비례한다는 가정을 사용하므로, 항력의 크기는 $ γv$로 표현되며, 여기서 $γ$은 항력 계수(drag coefficient)이다. 

*이 계수 $ γ$의 단위는 kg/s이며, 이를 통해 $ γv$가 힘의 단위인 $$kg\ast m/s^{2}$$를 갖도록 보장한다.

알짜힘 F를 표현할 때,  중력은 항상 아래 방향(양의 방향)으로 작용하고, 반면 낙하하는 물체에 작용하는 항력(공기 저항)은 위쪽 방향(음의 방향)으로 작용한다는 점을 기억해야 한다. 

 $$F=mg- γv$$...(3)

그리고 식 (2)는 다음과 같이 변형된다. 

(4)

*m, g, γ은 상수 주의

*m, γ은 낙하하는 특정 물체의 특성에 따라 크게 달라진다. 

 

 

식 (4)를 풀기 위해, 우리는 이 방정식을 만족하는 함수 v=v(t)를 찾아야 한다. 

이를 수행하는 것은 어렵지 않은데, 우선 실제로 해를 구하지 않고도 해에 대해 어떤 정보를 얻을 수 있는지 살펴보자. m과 γ에 수치 값을 할당하면 작업이 약간 단순해지지만, 선택하는 값에 관계없이 절차는 동일하다. 따라서 m=10kg, γ=2kg/s라고 가정할 것이다. 그러면 식 (4)는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다. 

(5)

 식 (5)의 해를 구하지 않고 해의 거동을 조사해보자. 우선, 미분 방정식 자체로부터 직접 얻을 수 있는 정보를 살펴볼 것이다. 속도 v가 특정한 값을 가졌다고 두자. 그러면 식 (5)의 우변을 계산함으로써 이에 해당하는 $\frac{dv}{dt}$ 값을 찾을 수 있다. 가령 v=40일 때, 

 

이것은 v=v(t)의 해의 기울기가 v=40인 지점에서 항상 1.8이라는 것을 의미한다. 이러한 정보를 tv-평면에서 그래픽적으로 표현할 수 있으며, v=40인 여러  점에서 기울기 1.8을 가지는 짧은 선분을 그림으로 나타낼 수 있다. 마찬가지로, v=50일 때, dv/dt=-0.2이며 v=50인 여러 지점에서 기울기 -0.2를 가지는 선분을 그릴 수 있다. 다른 v 값에서도 동일한 과정을 수행하면 아래 그림을 얻을 수 있다. 

위 그림은 방향장(direction field) 또는 기울기장(slope field)이라고 불린다. 

-식 (5)의 해는 함수 v(t)이며, 그 그래프는 tv-평면에 존재한다. 

-그림에서 각 작은 선분은 하나의 해 곡선에 접하며, 이는 방향장(direction field)을 형성한다. 

-해 곡선을 완전히 그리지 않더라도, 다음과 같은 모양을 유추할 수 있다. 

 v가 특정 임계값(critical value)보다 작으면, 기울기는 양수이며 물체의 속도가 증가한다. 

 v가 임계값보다 크면, 기울기는 음수이며 물체는 속도가 감소한다. 

-식 (5)에서 dv/dt=0이라는 것은 임계 속도가 v=49m/s임을 알려준다. 

-따라서 49m/s는 속도가 증가하는 해와 감소하는 해를 구분하는 기준이 된다. 

-v(t)=49라는 값은 시간에 따라 변하지 않는다. 이를 평형해(equilibrium solution)라고 부른다. 

이 문제에서 평형해는 중력과 항력이 완벽하게 균형을 이루는 상태를 의미한다. 

 

 또한 우리는 모든 다른 해들이 시간이 증가함에 따라 평형해로 수렴하고 있다고 결론을 도출할 수 있다. 이러한 맥락에서 평형해는 종단 속도(terminal velocity)라고도 불린다. 

 

예제에서 설명한 접근법은 일반적인 식 (4)에서도 동일하게 적용될 수 있으며, 여기서 매개변수 m과 γ는 특정되지 않은 양의 숫자이다. 식 (4)의 평형해(equilibrium solution)는 다음과 같다. 

 

 평형해보다 작은 값에서 시작하는 해는 시간이 지남에 따라 증가하며, 평형해보다 큰 값에서 시작하는 해는 시간이 지남에 따라 감소한다. 또한, 모든 해는 t가 커질수록 평형해로 수렴한다. 

 

1. 방향장(Direction Fields)

 방향장은 다음과 같은 형태의 미분 방정식의 해를 연구하는 데 유용한 도구이다. 

(6)

식 (6) 형태를 갖는 방정식의 방향장은 각 지점에서 함수 f의 기울기를 구하고, 그 지점에 같은 기울기의 짧은 선분을 그려 구성된다. 이렇게 하면 각 선분이 해당 지점을 지나는 해 곡선에 접하도록 만들 수 있다. 

 방향장이 해의 거동을 전체적으로 명확하게 보여주기 위해선 적당히 조밀한 수백개의 격자로도 충분하다. 따라서 방향장은 미분 방정식을 연구하는 첫 번째 단계로 자주 사용된다. 

 

① 방향장은 해를 구하기 어려운 방정식이라도 쉽게 생성할 수 있다. 

식을 직접 풀 필요 없이 주어진 함수를 여러 번 평가하면 된다. 

 

② 주어진 함수를 반복적으로 평가하는 작업은 컴퓨터가 수행하기에 적합하며, 일반적으로 방향장을 그릴 때는 컴퓨터를 사용하는 것이 바람직하다. 

 

Modeling Example

 특정 농촌 지역에 서식하는 들쥐 개체군을 떠올려보자. 시간을 t, 들쥐 개체군을 p(t)라고 하면, 개체군 증가에 대한 가정은 다음 미분 방정식으로 표현할 수 있다. 

(7)

 

여기서 비례 상수 r는 성장률(growth rate) 또는 비율 상수(rate constant)라고 한다. 

이제 문제를 확장하여, 같은 지역에 여러 마리 올빼미가 살고 있으며, 그들이 하루에 15마리의 들쥐를 잡아먹는다고 가정하자. 이 정보를 모델에 반영하면 다음과 같다. 

(8)

* 여기서 포식(올빼미의 사냥) 항이 -15가 아닌 이유는 시간이 "개월" 단위로 측정되므로, 한 달 동안 잡아먹히는 개체수로 변환하였기 때문!

식 (8)의 해를 그래픽적으로 조사해보자. p가 충분히 클 경우, dp/dt가 양수이므로 해가 증가한다. 반면, p가 작으면 dp/dt가 음수가 되어 해가 감소한다. 따라서 증가하는 해와 감소하는 해를 구분하는 임계값은 dp/dt=0이 되는 p의 값이므로 평행해는 p(t)=900 임을 알 수 있다. 

 

=> 낙하하는 물체 예제와 들쥐 개체군 예제 모두 평형해는 증가하는 해와 감소하는 해를 구분하는 역할을 한다. 

=> 그러나 전자의 경우 모든 해가 평형해로 수렴하여 시간이 지나면 속도가 거의 일정한 상태가 된 것에 반해 후자에서는 해가 평형애에서 멀어지는 경우도 있어 개체군의 결과가 크게 달라질 수 있다. 

 

 방정식 (8)의 일반적인 형태는 다음과 같다.

(9)

 여기서 성장률 r과 포식률 k는 특정되지 않았다. 

 평형 해는p(t)=k/r이며, 이보다 위에 있는 해는 증가학 아래에 있는 해는 감소한다. 

 

*낙하 물체에 대한 모델은 장애물 없이 자유롭게 낙하하는 경우에만 유효하고, 개체군 모델은 쥐의 개체수가 음수가 되는 경우도 예측하는 등 두 모델 모두 한계를 가지고 있음을 기억하자.

 

2. 수학적 모델 구성하기

(1) 독립 변수와 종속 변수를 식별하고, 이를 나타낼 문자를 정한다.

(2) 각 변수에 대한 측정 단위를 선택한다.

(3) 조사 중인 문제의 핵심이 되는 기본 원리를 명확히 한다.

(4) 선택한 변수에 관한 식으로 원리 또는 법칙을 표현한다.

(5) 방정식의 모든 항을 동일한 물리적 단위로 통일시킨다. 

* 위 예제에서는 단일 미분 방정식의 결과로 나타났지만 더 복잡한 문제에서는 연립 방정식이 포함될 수도 있다!

 

앞써 자유 낙하 운동 식으로

(10)

를, 올빼미가 사냥하는 들쥐 개체군 식으로

(11)

를 도출하였다. 

이 두 방정식은 다음과 같은 일반적인 형태를 같는다. 

(12)

지금부터는 미분방정식의 해를 구하는 방법을 알아보자. 

(13)

식 (13)은 다음 형태로 변형할 수 있다. 

(14)

또는 $ p\neq 900$일 때,

(15)

연쇄 법칙에 의해 방정식 (15)의 좌변은 ln|p-900|dmf t에 대해 미분한 것이므로, 다음을 얻는다. 

 

(16)

이후, 식 (16)의 양변을 적분하면,

(17)

여기서 C는 임의의 적분 상수이다. 

따라서, 방정식 (17)의 양변에 지수 함수를 적용하면 다음을 얻는다.

(18)

(19)

앞선 예제에서 우리는 미분 방정식의 무한히 많은 해를 찾았으며, 이는 방정식 (19)에서 임의 상수 c가 가질 수 있는 무한히 많은 값에 해당한다. 

이는 미분 방정식을 풀 때 일반적으로 발생하는 현상이다. 

 

3. 초기값 문제(initial value problem)

 우리는 종종 이러한 무한히 많은 해로부터 하나에 집중하기 위해 임의 상수의 값을 지정하고자 한다. 대부분의 경우 그래프 위에 반드시 놓여야 하는 한 점을 지정함으로써 간접적으로 수행된다. 예를 들어, 방정식 (19)에서 상수 c를 결정하기 위해, 특정 시간에서 개체군의 크기가 주어진 값을 가지도록 요구할 수 있다. t=0일 때, 개체군의 크기가 850이 되도록 설정 할 수 있다는 말이다. 

이를 기호로 표현하면 다음과 같다.

 

(20)

 

여기에 t=0, p=850을 대입하면,

850=900+c

따라서 c=-50이고 이를 방정식에 대입한다. 

(21)

이처럼 미분 방정식 (13)과 초기 조건 (20)은 함께 초기값 문제(initial value problem)을 형성한다. 

(12)

 

 

 

미분 방정식 (12)로 이루어진 보다 일반적인 문제를 고려해보자. 

초기 조건은 다음과 같다. 

여기서 y0는 임의의 초기값이다. 

만약 $ a\neq 0$이고 $ y\neq \frac{b}{a}$라면, 방정식 (12)를 다음과 같이 변형할 수 있다. 

(22)

양변을 적분하면 다음을 얻는다. 

(23)

여기서 C는 임의의 상수이며, 이후  방정식 (23)의 양변에 지수 함수를 적용하고 y에 대하여 정리하면,

(24)

c=0일 때 평형 해 y=b/a가 됨을 알 수 있다. 

여기에 초기 조건을 적용하여 c의 값을 대입해주면

$a\neq 0$인 경우 식 (23)은 방정식 (9)의 모든 가능한 해를 포함하며, 이를 일반해(general solution)라고 한다. 

-일반해의 기하학적 표현은 무한 개의 적분 곡선(integral curves)으로 구성된다.

-각 적분 곡선은 특정한 c값과 관련이 있으며, 이는 해당 c 값에 대응하는 해의 그래프이다.

-초기 조건을 만족시키는 것은 주어진 초기점을 지나는 적분 곡선을 찾는 것과 같다. 

 

들쥐 개체수 방정식 또한 마찬가지다. 

a를 성장률 r로, b를 포식률 k로 대체하자.

-만약 p0=k/r이면, 방정식은 모든 t에 대해 p=k/r이 된다. 이는 상수 해 또는 평형 해(equilibrium solution)이다. 

-만약 $p_{0}\neq \frac{k}{r}$이면, 방정식의 지수 항에서 계수 p0-(k/r)의 부호에 따라 해의 거동이 결정된다. 

-만약 p0>k/r이면, p는 시간이 지남에 따라 지수적으로 증가한다. 반면 p0<k/r이면, p는 감소하며 결국 0이 되어 들쥐 개체군이 멸종한다. 

 

자유 낙하 운동 방정식의 경우도 살펴보자.

 

-평형 해 또는 상수 해 v=mg/r가 존재하며, 다른 모든 해는 이 평형 해로 수렴하는 경향이 있다. 

-평형 해로의 수렴 속도는 지수 -r/m에 의해 결정된다.

-따라서 주어진 질량 m에 대해, 항력 계수 r가 증가할수록 속도는 평형 값에 더 빠르게 접근한다.