1. Linear Equations_적분인자 구하기
위와 같은 1차 미분방정식을 어떤 구간의 모든 t에 대해 만족한다면, 이 미분 가능한 함수 y= ϕ(t)를 우리는 해(solution)라고 부른다. 지금부터 우리의 관심사는 1) 그러한 함수가 존재하는가와 2) 존재한다면 어떻게 찾을 수 있는가이다.
만약 식 (1)에서 함수 f가 종속 변수 y에 대해 선형(linearly)이라면, 식 (1)은 1차 선형 방정식이라고 부른다. 앞에서는 계수가 상수로 제한된 형태의 1차 선형 방정식에 대해 논했다. 대표적인 예시는 다음과 같다.
이제 우리는 보다 일반적인 1차 선형 방정식을 고려하려고 한다. 식(2)에서 계수 a와 b를 t의 임의의 함수로 대체함으로써 쉽게 얻어진다. 일반적인 1차 선형 방정식의 표준 형태는 다음과 같다.
때때로, 방정식을 다음과 같은 형태로 쓰는 것이 더 편할 것이다.
예제1
다음 미분방정식을 풀어라.
식 (5)의 좌변은 dy/dt와 y의 선형 결합이며, product rule과 꽤 유사하다.
실제로,
따라서 식 (5)는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.
따라서 y가 미지수라 하더라도, 식 (6)의 양변을 t에 대해 적분할 수 있으며, 다음을 얻는다.
여기서 c는 임의의 적분 상수이다.
y에 대해 정리하면 다음을 얻는다.
이것은 식(5)의 일반해이다.
모든 미분방정식이 위와 같이 풀리면 좋겠다만, 그럴 수 없다. 방정식의 좌변이 y와 어떤 함수의 곱의 도함수가 아니기 때문이다. 하지만 라이프니츠(Leibniz)는 만약 미분방정식에 어떤 함수 μ(t)를 곱해주면, 그 식이 곧바로 적분 가능한 형태로 바뀐다는 사실을 발견했다. 놀랍지 않은가? 이때는 예제1처럼 곱의 미분법을 사용할 수 있다.
이 함수 μ(t)를 적분 인자(integrating factor)라고 하며, 우리의 주요 과제는 주어진 방정식에 대해 적분 인자를 어떻게 찾을 것인가이다.
예제2
다음 미분방정식의 일반해를 구하시오.
대표적인 적분 곡선들을 그리시오. 즉, 임의의 상수 c에 대해 여러 값에 해당하는 해들을 그래프로 나타내시오.
또한 그래프가 점 (0,1)을 지나는 특별해도 구하시오.
첫 번째 단계는 식 (9)에 아직 정해지지 않은 함수 μ（ｔ）를 곱하는 것이다。 따라서 다음을 얻는다。
μ(t)을 적절히 선택해서, 식 (10)의 좌변이 곱 μ(t)y의 도함수로 표현될 수 있는가?
모든 미분 가능한 함수 μ(t)에 대해 다음이 성립한다.
식(10)의 좌변과 식(11)의 우변은 다음 조건을 만족하는 함수 μ(t)를 선택할 경우 서로 동일하다.
우리가 식 (12)의 해를 찾을 수 있다면, 적분 인자를 성공적으로 구할 수 있다.
이는 다음과 동치이다.
최종적으로 다음과 같은 결과를 얻는다. 식 (14)로 주어진 함수 μ(t)는 식 (9)의 적분 인자(integrating factor)이다.
일반적인 적분 인자를 고집할 필요가 없는 상황이므로, 우리는 식 (14)에서 c=1로 선택해
를 사용할 예정이다.
아마 당신은 이보다 좀 더 쉽게 만족하는 적분 인자를 찾을 수 있다. 다음 질문을 해보자.
😎 미적분학에서 도함수가 원래 함수의 절반이 되는 잘 알려진 함수가 무엇인가?
다시 식 (9)로 돌아가서, 적분인자 e^(t/2)를 곱하면 다음을 얻는다.
우리가 선택한 적분 인자 덕분에, 식(15)의 좌변은 e^(t/2)y의 도함수가 되므로 식 (15)는 다음과 같이 쓸 수 있다.
식 (16)의 양변을 적분하면 다음을 얻는다.
여기서 c는 임의의 상수이다.
마지막으로, 식 (17)을 y에 대해 풀면 식 (9)의 일반해는 다음과 같이 정리할 수 있다.
점 (0, 1)을 지나는 해를 찾기 위해, 식 (18)에 t=0, y=1을 대입하면
이므로, c=2/5이고, 원하는 해는 다음과 같다.
2. 상수 계수를 가진 방정식에 대한 적분 인자 구하기
이제 적분 인자 방법을 다음과 같은 형태의 방정식으로 확장해 보자.
여기서 a는 주어진 상수이고, g(t)는 주어진 함수이다.
예제 2의 방식을 떠올려 보면, 적분 인자 μ(t)는 다음 조건을 만족해야 함을 알 수 있다.
따라서 적분 인자는 다음과 같다.
식 (20)에 적분 인자 μ(t)를 곱하면 다음을 얻는다.
즉,
식 (22)의 양변을 적분하면 다음을 얻는다.
여기서 C는 임의의 상수이다.
g(t)가 간단한 함수일 경우, 식 (23)의 적분을 직접 계산하여 y를 기본 함수의 형태로 나타낼 수 있다. 그러나 g(t)가 더 복잡한 함수일 경우, 해를 적분 형태로 남겨두는 것이 필요하다. 이 경우, 해는 다음과 같이 표현된다.
식(24)에서 적분 변수로 s를 사용한 것은 독립 변수 t와 구별하기 위함이다. 적분의 하한으로는 t_0라는 적절한 값을 선택하였다.
예제 3
다음 미분방정식의 일반해를 구하라.
그리고 여러 해들의 그래프를 그려라.
마지막으로, t-> ∞일 때 해의 거동을 논하라.
방정식 (25)는 a=-2인 형태의 식 (20)에 해당하므로, 적분 인자는
미분방정식 (25)에 μ(t)를 곱하면 다음과 같다.
정리하면,
양변을 적분하면,
여기서 마지막 항의 적분에는 부분적분(integration by parts)을 사용하였다.
따라서 방정식 (25)의 일반해는 다음과 같다.
t가 클 때 해의 거동은 ce^(2t) 항에 의해 결정된다. 만약 c≠0이면, 해는 c와 같은 부호를 가지면서 지수적으로 커진다. 따라서 해는 t-> ∞일 때 발산하게 된다. 해가 결국 야으이 무한대로 발사하는 것과 음의 무한대로 발산하는 것 사이의 경계는 c=0일 때 발생한다.
식(27)에 c=0을 대입하고 t=0을 넣으면 y=-7/4가 되고, 이는 y축상의 경계점이다. 이 초깃값의 경우 해는
가 되며, 이는 지수적으로가 아니라 선형적으로 증가한다.
3. 일반적인 1차 선형 미분방정식
이제 우리는 일반적인 1차 선형 방정식 (3)으로 돌아갈 것이다.
여기서 p와 g는 주어진 함수들이다.
적절한 적분 인자(integrating factor)를 결정하기 위해, 식(3)에 아직 미정인 함수 μ(t)를 곱하면 다음을 얻는다.
예제 2에서와 같은 방식으로 전개하면, 식(28)의 좌변은 곱 μ(t)y의 도함수가 되며, 이는 μ(t)가 다음 조건을 만족할 때 성립한다.
일시적으로 μ(t)가 양수라고 가정하면,
즉,
가 된다.
임의 상수 k를 0으로 선택하면, μ에 대한 가장 단순한 형태의 함수는 다음과 같이 된다.
우리가 가정한 대로 μ(t)는 모든 t에 대해 양수임을 주목하라.
식 (28)로 돌아가면 다음과 같다.
그러므로
여기서 c는 임의의 상수이다.
경우에 따라 식 (32)의 적분은 초등함수로 표현할 수 있다.
그러나 일반적으로 이것이 불가능하므로, 식 (3)의 일반해는 다음과 같다.
여기서 t0는 적절히 선택한 적분의 하한이다.
식 (33)은 두 개의 적분을 포함하고 있음에 주목하자. 하나는 식 (30)으로부터 μ(t)를 구하기 위한 것이고, 다른 하나는 y를 구하기 위한 것이다.
예제 4
다음 초기값 문제(initial value problem)를 풀어라.
p(t)와 g(t)를 올바르게 결정하기 위해, 먼저 식 (34)를 표준형 (3)으로 다시 써야 한다.
따라서 p(t)=2/t, g(t)=4t이다.
식 (36)을 풀기 위해, 먼저 적분 인자 μ(t)를 계산한다.
식 (36)에 μ(t)=t^2를 곱하면 다음을 얻는다.
따라서
여기서 c는 임의의 상수이다.
따라서 다음과 같은 결과를 얻는다.
초기 조건 (35)를 만족시키기 위해, c=1로 선택해야 하며,
이 해는 아래 그림의 검은 곡선으로 나타나 있다.
이 함수는 t->0+일 때 발산하고, 양의 y축에 점근함을 주목하라.
이는 p(t)가 원점에서 무한 불연속(infinite discontinuity)을 가지기 때문에 나타난다.
위 함수의 경우, t<0에서는 초기값 문제의 해에 포함되지 않는다.
이것은 어떤 t 값들에 대해서 해가 존재하지 않는 첫 번째 예이다. 이는 t=0에서 p(t)의 무한 불연속성 때문으로, 해를 0<t< ∞의 구간으로 제한한다. 그림을 보면, c>0인 경우 t->0일 때 오른쪽에서 y-축의 양의 방향에 점근하며, c<0인 경우 음의 y축에 점근하는 것을 볼 수 있다.
c=0인 해, 즉 y=t^2인 해는 t=0에서도 유한하고 미분 가능하게 남아 있다.
초기 조건 (35)을 일반화하면,
이때 c=y0-1이고, 해는 (38)에서
으로 변한다.
예제 3과 마찬가지로, 이는 중요한 초기 값이 존재하는 또다른 사례이다. 즉, y0=1이 다른 해들과는 다른 방식으로 행동하는 해들을 구분하는 역할을 한다.
예제5
초기 값 문제를 해결하시오.
미분 방정식 (41)을 표준형 (3)으로 바꾸기 위해서는 양변을 2로 나누어야 하며, 그 결과는 다음과 같다.
따라서 p(t)=t/2이고, 적분 인자 μ(t)는 다음과 같다.
그다음, 식 (43)에 μ(t)를 곱하면 다음과 같이 된다.
식 (44)의 왼쪽은 $ e^{\frac{t^{2}}{4}}y$의 도함수 이므로, 식 (44)의 양변을 적분하면 다음을 얻는다.
식 (45) 오른쪽 적분은 일반적인 초등 함수들로 표현할 수 없기 때문에 적분을 계산하지 않은 채로 남겨둔다. 그러나 적분의 하한을 초기점 t=0으로 설정하면, 식 (45)를 다음과 같이 바꿀 수 있다.
여기서 c는 임의의 상수이다.
따라서 식 (41)의 일반해 y는 다음과 같이 주어진다.
초기 조건 (42)는 c=1임을 요구한다. 이 예제의 주요 목적은 때때로 해를 적분 형태로 남겨야 한다는 것을 보여주는 것이다. 주어진 t 값에 대해, 식 (47)의 적분은 정적분이며, 쉽게 사용할 수 있는 수치 적분기를 통해 원하는 정밀도로 근사할 수 있다. 이 과정을 다양한 t 값에 대해 반복하고 결과를 그래프로 나타내면 해의 그래프를 얻을 수 있다.
아래 그림은 여러 c 값에 대한 해의 그래프를 보여준다. 그림을 보면, t-> ∞일 때 어떤 극한값에 수렴한다고 추측할 수 있을 것이다.
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