[선형대수] 02. 벡터공간

1. 대수적 구조의 엄밀한 정의 version

 체 F에서의 벡터공간(vector space) 또는 선형공간(inner space) V는 다음 8가지 조건을 만족하는 두 연산, 합과 스칼라 곱을 가지는 집합이다. 

 -합(sum)은 V의 두 원소 x, y에 대하여 유일한 원소 x+y∈V를 대응하는 연산이다. 이때, x+y는 x와 y의 합이라 한다. 

-스칼라 곱(scalar multiplication)은 체 F의 원소 a와 벡터공간 V의 원소 x마다 유일한 원소 ax ∈V를 대응하는 연산이다. 이때, x는 a와 x의 스칼라 곱(product)이라 한다. 

 

(1) 모든 x, y ∈ V에 대하여 x+y=y+x이다. (덧셈의 교환법칙)

(2) 모든 x, y, z ∈V에 대하여 (x+y)+z=x+(y+z)이다. (덧셈의 결합법칙)

(3) 모든 x ∈V에 대하여 x+0=x인 0 ∈V이 존재한다. 

(4) 각 x ∈V마다 x+y=0인 y ∈V가 존재한다. 

(5) 각 x ∈V에 대하여 1x=x이다. 

(6) 모든 a, b ∈F와 모든 x ∈V에 대하여 (ab)x=a(bx)이다. 

(7) 모든 a ∈F와 모든 x, y ∈ V에 대하여 a(x+y)=ax+ay이다. 

(8) 모든 a,b ∈F와 모든 x ∈V에 대하여 (a+b)x=ax+bx이다. 

 

체 F의 원소는 스칼라(scalar), 벡터공간 V의 원소는 벡터(vector)라 한다. 

*벡터공간은 정확하게 'F-벡터공간 V'라 표기해야 한다. 

 

(2)에 따르면, 벡터를 유한 번 더할 때 괄호를 생략하더라도 혼란이 생기지 않는다.

 

F에서 성분을 가져온  n 순서쌍(n-tuple): a1,a2,...an이 체 F의 원소일 때, a1,a2, ...,an꼴의 수학적 대상

성분(entry or component): 순서쌍을 구성하는 원소

같다(equal): 두 n순서쌍 (a1,a2,...,an)과  (b1,b2,...,bn)은 ai=bi (i=1,2,...,n)일 때, 같다(equal)고 정의한다. 

 

2. F-벡터 공간과 행렬

1) F^n: 체 F에서 성분을 가져온 모든 n순서쌍

2) F-벡터공간: $ u=(a_{1},a_{2},...,a_{n} )\in F^{n}, v=(b_{1},b_{2},...,b_{n} )\in F^{n},c\in F$일 때, 합과 스칼라 곱을 다음과 같이 정의하면 이 집합은 F-벡터공간이다. 

$$u+v=(a_{1}+b_{1}, a_{2}+b_{2},..., a_{n}+b_{n}), cu=(ca_{1},ca_{2}, ..., ca_{n} )$$