[선형대수학] LINEAR ALGEBRA 00. Preface, To the student

 

* 본 내용은 Friedberg, Stephehn H., Insel, Arnold J., Spence, Lawrence E. 의 Linear algebra / 5th ed를 공부하면서 번역한 내용을 정리한 것이다. 

 

1. Preface

 1) 선수과목: 1학년 미적분학

 

 2) 추천 독자

 벡터 공간과 추상적인 선형대수 개념을 강조하는 2학년 수준의 선형대수 강의를 수강하고자 하는 학생, 강한 이론적 강조점을 두고 선형대수를 처음 학습하고자 하는 학생

 

 3) 권장 강의 계획

 -핵심 내용(vector spaces, linear transformations and matrices, systems of linear equations, determinants, diagonaliztion, and inner product spaces)은 1장에서 5장과 6.1장에서 6.5장에 걸쳐 배웁니다. 

 -6장과 7장에서는 내적 공간과 표준형을 다루며, 서로 독립적인 주제로 어떤 순서로든 학습할 수 있습니다. 

 -책 적반에서는 선형대수의 응용으로 상미분 방정식, 경제학, 기하학, 물리학에서의 활용을 소개합니다. 

 

4) 내용 개요

 1장: 벡터 공간의 기본 이론을 다루며, 부분공간, 선형결합, 선형 독립과 종속, 기저와 차원을 학습

 *추가적으로 무한 차원 벡터 공간이 기저를 가짐을 증명함

 2장: 선형 변환과 행렬 표현을 다루며, 널 공간(null space), 상(image), 선형 변환의 행렬 표현, 동형 사상(isomorphism), 좌표 변환 등을 설명

 *쌍대 공간(dual space)과 상미분방정식과의 관계

 3장: 선형 방정식의 해법을 다루며, 1~2장에서 논의된 개념들이 어떻게 방정식 풀이에 적용되는지 설명, 행렬 연산의 복잡성을 줄이면서도 벡터 공간 이론을 활용할 수 있도록 구성

 4장: 행렬식(determinant)을 다룸. 4.1~4.3절에서는 전체적인 이론을 소개하고, 4.4절에서는 핵심 성질만을 정리하며, 4.5절에서는 공리적으로 행렬식을 정의하는 방법을 다룸.

 5장: 고유값(eigenvalue), 고유벡터(eigenvector), 행렬의 대각화(diagonaliztion)를 다룸. 행렬  극한(matrix limit) 개념과 Markov 연쇄를 소개함. invariant subspace와 Cayley-Hamilton 정리도 이 장에서 다룸.

 6장: 내적 공간(inner product space)를 다루며, Gram-Schmidt 직교화 과정, 직교 보완(orthogonal complement), adjoint of an operator, orthogonal & unitary operators, orthogonal projection, specrtal 정리 등을 포함. 

 

 5) 네 번째 판과 다섯 번째 판의 차이점

 -전반적인 구성은 거의 동일

 -Cayley-Hamilton 정리, 직교 투영, Gram-Schmidt  과정 등에 대한 설명 보충

 -새로운 응용 문제 추가

 

 

2. To the Student

 효과적인 선형대수 학습을 위한 팁

1) 수업 전에 각 절을 정독하기

2) 수업을 주기적으로 준비하기

 적어도 매번 수업에서 다루는 내용과 관련된 연습문제를 스스로 풀어보기

3) 자주 복습하기

 동기와 함께 개념을 토론하는 것도 좋은 복습 방법