[미적분학] 02. 수학적 모형, 선형모형, 다항함수, 거듭제곱함수, 유리함수, 대수함수, 삼각함수, 지수함수, 로그함수

1. 수학적 모형

1) 수학적 모형(mathematical model)은 떨어지는 물체의 속도, 생물의 개체 수 등과 같은 실제 현상을 함수 또는 방정식으로 나타내는 수학적 표현

 

2) 모형화 과정

 (1) 독립변수와 종속변수를 확인한 뒤, 이름을 붙인다.   

 (2) 현상을 단순화하여 수학적 모형을 공식화한다. 

      물리적 현상과 수학적 지식을 이용해서 변수를 관련 짓는 방정식을 세운다. 

 (3) 공식화된 수학적 모형에 수학을 적용하여 수학적 결론을 도출한다. 

 (4) 해당 결론을 통해 현상을 설명하거나 미래를 예측해본다. 

 (5) 예측이 실제와 잘 맞지 않으면 모형을 다듬거나 새로운 모형을 만들어 또다시 이 과정을 반복한다. 

 

3) 특징

물리적 현상에 대한 완벽하고 정확한 표현 X, 이상화

 

2. 선형모형

 1) y가 x에 대해 선형함수(linear function): 함수의 그래프가 직선임을 의미, 다음과 같은 식으로 표현된다. 

y=f(x)=mx+b

2) 선형함수의 특징은 일정한 비율로 증가한다는 것이다.

3) 모형을 공식화할 물리 법칙이나 원리가 없다면, 수집된 자료에 근거하여 실험모형(empirical model)을 만든다. ->자료의 기본적 성향을 잘 드러내는 적당한 그래프를 찾는다. 

4) 보간법: 측정된 값들 사이에서 값을 추정하는 것.

5) 외삽법: 관측 영역 밖에서 값을 예측하는 것.

 

3. 다항함수

1) 다항함수: 다음과 같이 표현되는 함수P를 다항함수(polynomial function)라고 한다. 

여기서 n은 음이 아닌 정수, $a_{0},a_{1}, a_{2},..., a_{n}$은 상수로서 다항함수의 계수(coefficient)라고 부른다. 

2) 임의의 다항함수 정의역은 $\mathbb{R=(-\infty ,\infty )}$이다. 

3) 최고 차항의 계수가 $a_{n}\neq 0$이면, 다항함수의 차수(degree)는 n이다. 

4) 1차 다항함수의 형태

P(x)=mx+b

5) 2차 다항함수 형태

P(x)=ax^2+bx+c =>이차함수(quadratic function)

a>0일 때 포물선은 위로 열리며 a<0일 때 아래로 열린다. 

6) 3차 다항함수의 형태

 P(x)=ax^3+bx^2+cx+d, $a\neq 0$  =>삼차함수(cubic function)

4. 거듭제곱함수

f(x) =x^a(a는 상수) 형태의 함수를 거듭제곱함수(power function)라 한다. 

(i) a=n,n은 양의 정수

 n=1,2,3,4,5 일 때 f(x)=x^n의 그래프는 다음과 같다. 

 n이 짝수이면, f(x)=x^n은 우함수, 그래프는 포물선 y=x^2과 비슷

 n이 홀수이면, f(x)=x^n은 기함수, 그래프는 y=x^3과 비슷

(ii) a=1/n, n은 양의 정수

(iii) a=-1

 반비례 함수(reciprocal function) f(x)= x^(-1)=1/x의 그래프는 아래와 같다. 

 이 그래프의 방정식은 y=1/x 또는 xy=1이고 좌표축을 점근선으로 하는 쌍곡선이다. 

 

5. 유리함수

 유리함수(rational function) f는 두 다항함수의 비로 나타낼 수 있는 함수

$$f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$$

여기서 P와 Q는 다항함수, 정의역은 $Q(x)\neq 0$인 모든 x의 값.

 

6. 대수함수

 함수 f를 다항함수에 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈, 근호 취하기와 같은 대수적 연산을 이용해서 만든 함수를 대수함수(algebraic function)라 한다. 모든 유리함수는 대수함수이다. 

 

7. 삼각함수

정의역은 (-∞, ∞)이고 치역은 ［-1,1]

8. 지수함수

9. 로그함수