[선형대수] 01. 벡터, 벡터공간의 8가지 성질, 두 점을 지나는 직선의 방정식

1. 벡터(vector)

1) 크기와 방향을 모두 가진 물리량

2) 힘, 속도, 가속도...

3) 벡터의 크기=화살표의 길이

    벡터가 작용하는 방향=화살표의 방향

4) 벡터가 어디에 위치했는지와 무관하게 크기와 방향이 같으면 동일한 벡터

 

벡터의 기하학적 이해

5) 벡터 합의 평행사변형 법칙: 시점이 P로 일치하는 두 벡터 x, y의 합은 점 P에서 시작하는 벡터이고, 이는 x와 y를 이웃한 변으로 하는 평행사변형의 대각선으로 나타난다. (한 벡터의 종점에 다른 벡터의 시점을 이어붙인다.)

 

벡터의 대수적 이해

6) 두 벡터 x와 y를 포함하는 평면에 P를 원점으로 하는 직교좌표를 부여하자. 

벡터 x의 종점을 (a1,a2), 벡터 y,의 종점을 (b1,b2)라 하면 벡터 x+y의 종점은 (a1+b1, a2+b2)이다. 

7) 원점을 시점으로 하는 벡터 x의 종점이 (a1,a2)일 때, tx의 종점은 (ta1, ta2)이다. 

*스칼라 곱(scalar multiplication): 벡터에 실수를 곱하여 크기를 확대하거나 축소하는 것.

0이 아닌 실수 t에 대하여 벡터 tx의 방향은 t>0일 때 x의 방향과 같고, t<0일 때 x의 방향과 180도 반대이다. 

벡터 tx의 크기는 유향성분 x의 크기에 |t|를 곱한 것이다. 

영이 아닌 두 벡터 x,y에 대해 y=tx인 0이 아닌 실수 t가 존재할 때, 두 벡터는 평행(parallel)하다. 

 

2. 벡터공간(vector space)에서의 8가지 성질

 성질1 모든 벡터 x, y에 대하여 x+y=y+x이다. 

 성질2 모든 벡터 x, y, z에 대하여 (x+y)+z=x+(y+z)이다. 

 성질3 모든 벡터 x에 대하여 x+0=x를 만족하는 벡터 0이 존재한다. 

 성질4 각 벡터 x마다 x+y=0을 만족하는 벡터 y가 존재한다. 

 성질5 모든 벡터 x에 대하여 1x=x이다. 

 성질6 모든 실수 a, b와 모든 벡터 x에 대하여 (ab)x=a(bx)이다.  

 성질 7 모든 실수 a와 모든 벡터 x, y에 대하여 a(x+y)=ax+ay이다. 

 성질8 모든 실수 a, b와 모든 벡터 x에 대하여 (a+b)x=ax+bx이다. 

 

3. 두 점을 지나는 직선의 방정식

 공간에서 서로 다른 두 점 A, B를 지나는 직선을 생각하자. 

 시점이 O이고 종점이 A,B인 두 벡터를 각각 u,v라 하자. 

 시점이 A이고 종점이 B인 벡터를 w라 할 때, 시점가 종점을 이어붙이는 방식에 의하면 u+w=v, w=v-u이다. 

 두 점 A, B를 이은 직선 위 임의의 점은 A를 시점으로 하는 벡터의 종점이고, 적절한 실수 t에 대하여 tw 형태로 표현할 수 있다. 

 반대로, A를 시점으로 하는 벡터 tw의 종점은 두 점 A, B를 지나는 직선 위의 점이다. 

x=u+tw=u+t(v-u) (단, t는 임의의 실수이고 x는 직선 위 임의의 점)

 

4. 세 점을 지나는 평면의 방정식

x=A+su+tv(단, s, t는 임의의 실수이고 x는 평면 위 임의의 점)