[기초 정수론] 03. 이항정리

1. 이항 계수(binomial coefficient)

0 ≤ k ≤ n을 만족하는 모든 양의 정수 n과 정수 k에 대해서 이항계수는 다음과 같이 정의된다. 

k! 이나 (n-k)!을 소거함으로써, $ \binom{n}{k}$는 아래와 같이 표현될 수 있다. 

 

예를 들어, n=8, k=3 일 때,

또한, 0!=1이므로 아래의 특별한 경우에는 다음과 같이 계산한다. 

 

2. 파스칼 규칙(Pascal's rule)

이것의 증명을 위하여 n!/ (k-1)!(n-k)!을 다음 항등식에 곱하면

다음과 같은 등식을 얻는다. 

계승함수의 정의로 돌아가면,

을 의미하고, 이는 파스칼 규칙이다. 

 

3. 파스칼의 삼각형(Pascal's triangle)

 

여기서 이항 계수 $ \binom{n}{k}$는 n열의 (k+1)번째 수로 나타난다. 

이 삼각형의 가장자리는 1로 구성되어 있으며, 가장자리가 아닌 곳의 수는 위에 있는 두 수의 합이다. 

 

4.  이항정리(binomial theorem)

이항정리는 (a+b)^n, n≥1의 전개식에서 a와 b의 거듭제곱들의 합들에 관한 공식.

 

1) 일반적인 이항 전개의 형태

간결한 version

 

2) 이항정리 증명

 

n=1일 때,

 

그리고

 

이 식들을 더함으로써, n=m+1인 경우의 다음 공식

을 얻을 수 있다.